Эллиптические функции
Эллиптические функции - функции, связанные с обращением эллиптических интегралов (См. Эллиптические интегралы). Э. ф. применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчётов.
Подобно тому как тригонометрическая функция u = sinx является обратной по отношению к интегралу
так обращение нормальных эллиптических интегралов 1-го рода
где z = sin φω, k - модуль эллиптического интеграла, порождает функции: φ = am z - амплитуда z (эта функция не является Э. ф.) и ω = sn z = sin (am z) - синус амплитуды. Функции cn - косинус амплитуды и dn z - дельта амплитуды определяются формулами
Функции sn z, cn z, dn z называют Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением
sn2z + cn2z = k2sn2z + dn2z = 1.
На рис. представлен вид графиков Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением
sn2z + cn2z = k2sn2z + dn2z = 1
На рис. представлен вид графиков Э. ф. Якоби для действительного x и 0 < k < 1; а
- полный нормальный эллиптический интеграл 1-го рода и 4K - основной период Э. ф. sn z. В отличие от однопериодической функции sin х, функция sn z - двоякопериодическая. Её второй основной период равен 2iK, где
и 
- дополнительный модуль. Периоды, нули и полюсы Э. ф. Якоби приведены в таблице, где m и n - любые целые числа.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
| Функции | Периоды | Нули | Полюсы |
|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| sn z | 4Km + 2iK'n | 2mK + 2iK'n | |
|-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| }2mK + (2n + 1) iK' |
| cn z | 4K + (2K + 2iK') n | (2m + 1) K + 2iK'n | |
|-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| |
| dn z | 2Km + 4iK'n | (2m + 1) K + (2n + 1) iK | |
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Э. ф. Вейерштрасса ℙ(х) может быть определена как обратная нормальному эллиптическому интегралу Вейерштрасса 1-го рода
где параметры g2 и g2 - называются инвариантами ℙ(x). При этом предполагается, что нули e1, e2 и e3 многочлена 4t3 - g2t - g3 различны между собой (в противном случае интеграл (*) выражался бы через элементарные функции). Э. ф. Вейерштрасса ℙ(х) связана с Э. ф. Якоби следующими соотношениями:
,
,
.
Любая мероморфная двоякопериодическая функция f (z) с периодами ω1 и ω2, отношение которых мнимо, т. е. f (z + mω1 + пω2) = f (z) при m, n = 0, ±1, ±2,... и 
, является Э. ф. Для построения Э. ф., а также численных расчётов применяют Сигма-функции и Тэта-функции.
Изучению Э. ф. предшествовало накопление знаний об эллиптических интегралах, систематическое изложение теории которых дал А. Лежандр. Основоположниками теории Э. ф. являются Н. Абель (1827) и К. Якоби (1829). Последний дал развёрнутое изложение теории Э. ф., названное его именем. В 1847 Ж. Лиувилль опубликовал изложение основ общей теории Э. ф., рассматриваемых как мероморфные двоякопериодические функции. Представление Э. ф. через ℙ-функцию, а также ζ-, σ-функции дано К. Вейерштрассом в 40-х гг. 19 в. (две последние не являются Э. ф.).
Лит.: Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968; Уиттекер Э, Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, пер. с англ., М., 1967.
Рис. к ст. Эллиптические функции.