.
Разложение на множители
Разложение на множители - многочлена, представление его в виде произведения двух или большего числа многочленов низших степеней, например: х2 - 1 = (х - 1)(х + 1), х2 - (a + b) x + ab = (x - a)(x - b), x4- a4 = (x - a)(x + a)(x 2+ a 2). Простейшие приёмы Р. на м.: вынесение общего множителя за скобку: х4 + a2x2 = x2(x2 + a2), х (х - а) - b (x - a) = (x - a)(x - b); применение готовых (запоминаемых наизусть) формул: x2 - a2 = (х - a)(x + a), x3- a3 = (х - а)(х2 + ах + а2), x2+ 2ax + a2 = (х + а)2, x3 + 3ax2 + 3a2x + a3= (х + а)3, способ группировки, например х3 + ax2 + a2x + a3 = (х3 + ax2) + (a2x + a 3) = x2(x + a) + a2(x + a) = (х + а)(а2 + х 2); x4 + a4 = (х4 +2а2х2+ а4) - 2a2x2 = (x2 + a2)2- (√2ах)2 = (х2 - √2ax + a 2)(x2 + √2ax + a2), и т.п. Если многочлен степени n р (х) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn (an ≠ 0) имеет корни x1, x2, ..., xn, то справедливо Р. на м.: р (х) = an (х - х1)...(х - xn); здесь все множители 1-й степени (линейные). Например, из того, что многочлен 3-й степени х 3 - 6х 2 + 11x - 6 имеет корни x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, вытекает Р. на м.: х3 - 6х2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(х - 3). Вообще, каждый многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители 1-й или 2-й степени также с действительными коэффициентами. Так, выше было указано разложение: x4 + a4 = (x2- √2ax + a2)(x2 + √2ax + a2). Здесь все множители 2-й степени; при а действительном и неравном нулю они могут быть разложены только на множители с комплексными коэффициентами, например
x2 + √2ax + a2 = .
Среди многочленов от двух или большего числа переменных существуют многочлены сколь угодно высокой степени, которые вообще не разлагаются на множители (неприводимые многочлены); таков, например, многочлен xn + y при любом натуральном n. См. Многочлен, Неприводимый многочлен.
Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.
А. И. Маркушевич.