Большая советская энциклопедия (БСЭ)
Факторный анализ

Факторный анализ

Факторный анализ - раздел статистического анализа многомерного (См. Статистический анализ многомерный),. объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц. Основное предположение Ф. а. заключается в том, что корреляционные связи между большим числом наблюдаемых переменных определяются существованием меньшего числа гипотетических ненаблюдаемых переменных или факторов. В терминах случайных величин - результатов наблюдений X₁,..., X_n общей моделью Ф. а. служит следующая линейная модель:

(*),

,

где случайные величины f_j суть общие факторы, случайные величины U_i суть факторы, специфические для величин X_i и не коррелированные с f_j, а ε_i; суть случайные ошибки. Предполагается, что k < n задано, случайные величины ε_i независимы между собой и с величинами f_j и U_i и имеют Еε_i = 0, Dε_i = σ²_i. Постоянные коэффициенты a_ij называются факторными нагрузками (нагрузка i-й переменной на j-й фактор). Значения a_ij, b_i, и σ²_i считаются неизвестными параметрами, подлежащими оценке. В указанной форме модель Ф. а. отличается некоторой неопределённостью, т.к. n переменных выражаются здесь через n + k других переменных. Однако уравнения (*) заключают в себе гипотезу о ковариационной матрице, которую можно проверить. Например, если факторы f_j некоррелированы и c_ij - элементы матрицы ковариаций между величинами X_i, то из уравнений (*) следует выражение для c_ij через факторные нагрузки и дисперсии ошибок:

, .

Т. о., общая модель Ф. а. равносильна гипотезе о ковариационной матрице, а именно о том, что ковариационная матрица представляется в виде суммы матрицы А = {a_ij} и диагональной матрицы Λ с 2 элементами σ²_i.

Процедура оценивания в Ф. а. состоит из двух этапов: оценки факторной структуры - числа факторов, необходимого для объяснения корреляционной связи между величинами X_i, и факторной нагрузки, а затем оценки самих факторов по результатам наблюдения. Принципиальные трудности при интерпретации набора факторов состоят в том, что при k > 1 ни факторные нагрузки, ни сами факторы не определяются однозначно, т.к. в уравнении (*) факторы f_j могут быть заменены любым ортогональным преобразованием. Это свойство модели используется в целях преобразования (вращения) факторов, которое выбирается так, чтобы наблюдаемые величины имели бы максимально возможные нагрузки на один фактор и минимальные нагрузки на остальные факторы. Существуют различные практические способы оценки факторных нагрузок, имеющие смысл в предположении, что X_i,..., Xn подчиняются многомерному нормальному распределению с ковариационной матрицей С = {с_ij}. Выделяется Максимального правдоподобия метод, который приводит к единственным оценкам для c_ij, но для оценок a_ij даёт уравнения, которым удовлетворяет бесчисленное множество решений, одинаково хороших по статистическим свойствам.

Ф. а. возник и первоначально разрабатывался в задачах психологии (1904). Область его приложения значительно шире - Ф. а. находит применение при решении различных практических задач в медицине, экономике, химии и т.д. Однако многие результаты и методы Ф. а. пока ещё не обоснованы, хотя практики ими широко пользуются. Математическое строгое описание современного Ф. а. - задача весьма трудная и до сих пор в полной мере не решенная.

Лит.: Лоул и Д., Максвелл А., Факторный анализ как статистический метод, пер. с англ., М., 1967; Харман Г., Современный факторный анализ, пер. с англ., М., 1972.

А. В. Прохоров.