Теплопроводности уравнение
Теплопроводности уравнение - дифференциальное уравнение (См. Дифференциальные уравнения) с частными производными параболического типа, описывающее процесс распространения теплоты в сплошной среде (газе, жидкости или твёрдом теле); основное уравнение математической теории теплопроводности (См. Теплопроводность). Т. у. выражает тепловой баланс для малого элемента объёма среды с учётом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объёма вследствие теплопроводности. Для изотропной неоднородной среды Т. у. имеет вид:
,
где ρ - плотность среды; cv - теплоёмкость среды при постоянном объёме; t - время; х, у, z - координаты; Т = Т (х, у, z, t) - температура, которая вычисляется при помощи Т. у.; λ - коэффициент теплопроводности; F = F (x, y, z, t) - заданная плотность тепловых источников. Величины ρ, Cv, λ зависят от координат и, вообще говоря, от температуры. Для анизотропной среды Т. у. вместо λ содержит Тензор теплопроводности λir, где i, k = 1, 2, 3.
В случае изотропной однородной среды Т. у. принимает вид:
,
где ΔT - Лапласа оператор, a2 = λ/(ρcv) - коэффициент температуропроводности; f = F/(ρcv). В стационарном состоянии, когда температура не меняется со временем, Т. у. переходит в Пуассона уравнение ΔТ = f/a2 = F/λ или, при отсутствии источников теплоты, в Лапласа уравнение ΔТ = 0. Основными задачами для Т. у. является Коши задача и смешанная краевая задача (см. Краевые задачи).
Первые исследования Т. у. принадлежат Ж. Фурье (1822) и С. Пуассону (1835). Важные результаты в исследовании Т. у. были получены И. Г. Петровским (См. Петровский), А. Н. Тихоновым, С. Л. Соболевым.
Лит.: Карслоу Г. С., Теория теплопроводности, пер. с англ., М.- Л., 1947: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, М., 1967; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.
Д. Н. Зубарев.